Population du Groenland

Le tableau ci-dessous indique l'évolution de la population du Groenland ente 1961 et 2022.

\(\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Année} &1961&1965&1970&1975&1980&1985&1990&1995&2000&2005&2010&2015&2020&2021&2022 \\ \hline \text{Population} \\ \text{(milliers)}&34&39&46&50&50&53&56&56&56&57&57&56&56&57&57\\ \hline \end{array}\)

1. Représenter ce nuage de points avec GeoGebra .

2. On décide de modéliser la population du Groenland à partir de 1965 en posant : \(P(x)= k(1-1{,}7\times 2{,}7^{-0{,}1x+195})\)

• \(x\)  désigne l'année `(x≥1965)`  ;
  
• \(P(x)\) désigne la population en milliers d'habitants ;
  
• \(k\)  un entier naturel strictement positif.
  

    a. Créer avec GeoGebra un curseur \(k\) variant entre 40 et 60 et tracer la courbe représentative de la fonction `P` .

    b. Quelles valeurs de \(k\) semblent proposer des modélisations cohérentes avec les données du tableau sur la période 1965-2022 ?

3. Un bureau d'études démographiques propose la valeur `k=59.`

    a. Suivant cette modélisation, quelle estimation peut-on faire de la population du Groenland en 2025 ? Et en 2030 ? 

    b. Démontrer que la fonction `P` est strictement croissante sur l'intervalle \([1965~; +\infty[\) .

    c. Prouver que si la population suit cette modélisation, elle ne pourra pas dépasser 59 000 habitants.

Solution

1.  et 2. a.

    b. La modélisation est cohérente  avec les données démographiques si la courbe de  \(P\) passe au plus près des points placés dans la question 1. En faisant varier le curseur de GeoGebra, on peut estimer que \(k\) doit varier entre 56 et 59.

3. a. Dans cette question  `k=59.` En utilisant  la calculatrice, nous obtenons :  \(P(2025)\simeq 58{,}94\)  et \(P(2030)\simeq 58{,}96\) .

Suivant ce modèle, la population du Groenland sera d'environ 58 940 habitants en 2025 et d'environ 58 960 habitants en 2030.

    b. Soit deux réels \(x_1\) et \(x_2\) appartenant à \([1965~; +\infty[\) tels que \(x_1.

La fonction `x\mapsto -0,1x+195` étant une fonction affine strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) , donc aussi sur \([1965~; +\infty[\)   : \(0<-0{,}1x_2+195<-0{,}1x_1+195\) .

La fonction exponentielle \(x\mapsto 2{,}7^{x}\) est croissante sur \([0~;+\infty[\) car \(2{,}7>0\) . Nous avons donc successivement :

\(~~~\quad\quad\quad\quad\quad 2{,}7^{-0{,}1x_2+195}<2{,}7^{-0{,}1x_1+195}\) \(\)

\(~\quad\quad-1{,}7\times 2{,}7^{-0{,}1x_2+195}>-1{,}7\times2{,}7^{-0{,}1x_1+195}\)    (car \(-1{,}7<0\) )

\(\quad\quad 1-1{,}7\times 2{,}7^{-0{,}1x_2+195}>1-1{,}7\times2{,}7^{-0{,}1x_1+195}\)

\(\) \(59(1-1{,}7\times 2{,}7^{-0{,}1x_2+195})>59(1-1{,}7\times2,7^{-0{,}1x_1+195})\)

                 soit :              \(P(x_1).

La fonction \(P\) est donc strictement croissante sur   \([1965~; +\infty[\) .

    c. Les fonctions exponentielles de base \(a\) sont strictement positives sur leur ensemble de définition. Donc, pour tout \(x\) appartenant à \([1965~; +\infty[\)  :
\(1-1{,}7\times2{,}7^{-0{,}1x+195}<1\)

et donc : \(59(1-1{,}7\times2{,}7^{-0{,}1x+195})<59\)

c'est-à-dire : `P(x)<59` .

D'après cette modélisation, la population ne pourra donc pas  dépasser 59 000 habitants.